П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано: ∆АВС.

Обосновать, что АВ < АС + СВ.

Подтверждение: Строим отрезок СМ = ВС на продолжении стороны АС. В равнобедренном ΔВСМ ∠1 = ∠2 (по свойству углов в равнобедренном треугольнике). ∠1 < ∠АВМ, означает и ∠2 < ∠АВМ.

Разглядим треугольник АВМ. Потому что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тоАВ < АМ, АВ < АС + СМ, АВ < АС + ВС.
(т.к П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.. СМ = ВС). Ч.т.д.

3.Отрезки АВ и СМ пересекаются в их общей середине. Обоснуйте, что прямые АС и ВМ параллельны.

Подтверждение:

Билет. 10 1. (п. 27-28) Теорема – это такая правда, которую не нужно обосновывать. В каждой науке есть свои теоремы, на базе которых строят все последующие суждения и подтверждения. Теорема параллельных П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. прямых:Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна ровная, параллельная данной. Разглядим некие характеристики параллельных прямых, которые следуют из этой теоремы. 1) Если ровная пересекает одну из 2-ух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Подтверждение: Пусть ровная a || b и ровная с П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. пересекает прямую а в точке М. Докажем, что тогда ровная с пересекает и прямую b. Если б ровная с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы 2 прямые (а и с) параллельные прямой b. Но это противоречит теореме параллельных прямых, означает ровная с пересекает прямую b. 2) Если две разные П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. 2. (п. 34) Характеристики прямоугольных треугольников: 10. Сумма 2-ух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 900. Подтверждение: По правде, сумма углов треугольника равна 1800, а т.к. прямой угол = 900, то сумма 2-ух других углов в треугольнике = 900. 20. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы. Подтверждение П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.: Пусть в прямоугольном ∆АСВ ∠В = 30°. Тогда другой его острый угол будет равен 60°. Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за верхушку прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Приобретенный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы лицезреем, что П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. каждый угол треугольника АВМ равен 60°, как следует, этот треугольник – равносторонний. Катет АС равен половине AM, а потому что AM приравнивается АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ. Ч.т.д. 30. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300. 3.Обосновать, что П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. середины сторон равнобедренного треугольника являются верхушками другого равнобедренного треугольника. Подтверждение:

Билет. 11 1. (п. 31) Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой, т.е. равен 900. Сторона, лежащая напротив прямого угла, именуется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Гипотенуза всегда большего хоть какого из катетов, т.к. лежит напротив большего П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. угла в треугольнике. 2. (п.29) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующые углы равны. Дано: а||b, с – секущая, Обосновать, что соответствующые углы ∠1 = ∠2. Подтверждение: т.к. а||b, то ∠1 = ∠3 (накрест лежащие), а ∠3 = ∠2 (вертикальные), как следует ∠1 = ∠2.Ч.т.д. 3.Отыскать смежные углы, если какой-то из них на 450 больше П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. другого. Решение:Обозначим ∠2 = х, тогда ∠1 = х + 450. По свойству смежных углов ∠1 + ∠2 = 180. Составим уравнение х + х + 450 = 1800; 2х = 1350; х = 1350 : 2 = 67,50. Означает ∠2 = 67,50, тогда ∠1 = 67,50 + 450 = 112,50. Ответ: ∠1 = 112,50; ∠2 = 67,50.
Билет. 12 1. (п. 11) Смежные углы – это два угла, у каких одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Свойство: Сумма смежных углов равна 1800. На рисунке ∠1 и ∠2 совместно образуют развернутый угол, а он П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. равен 1800, как следует, ∠1 + ∠2 = 1800. 2. (п.35) Если гипотенуза и катет 1-го прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоугольные, АВ = А1В1 и СВ = С1В1, углы С и С1 – прямые. Обосновать, что ∆АВС = ∆А1В1С1 Подтверждение П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.: т.к. ∠С = ∠С1 = 900, то ∆АВС можно наложить на ∆А1В1С1 так, что верхушка С совместится с С1, а стороны СА и СВ наложатся на лучи С1А1 и С1В1. По условию СВ = С1В1, означает, верхушка В совместится с В1. Но и тогда верхушка А совместится с А П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.1. Ч.т.д. 3.Обоснуйте, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. Дано: В ∆АВС биссектриса ВД – это высота. Обосновать, что ∆АВС равнобедренный. Подтверждение: ∆АВД = ∆СВД по второму признаку (∠1 =∠2, т.к. ВД – биссек., ∠3 =∠4=900, т.к. ВД – высота, а сторона ВД – общая). Означает АВ = ВС, т П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон..е. ΔABC – равнобедренный. Ч.т.д.
Билет. 13 1. (п. 11) Вертикальные углы – это два угла, у каких стороны 1-го угла являются продолжениями сторон другого. Аксиома: Вертикальные углы равны. Подтверждение:∠1 + ∠2 = 1800 (смежные), ∠3 + ∠2 = 1800 (смежные), → ∠1 = ∠3. Ч.т.д. 2. (п.35) Если гипотенуза и острый угол 1-го прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. такие треугольники равны. Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоугольные, АВ = А1В1, ∠С = ∠С1= 900, ∠В = ∠В1. Обосновать, что ∆АВС = ∆А1В1С1 Подтверждение: т.к. ∠С = ∠С1 = 900 и ∠В = ∠В1, как следует, ∠А = ∠А1 (по аксиоме о сумме углов в треугольнике), а означает ∆АВС равен ∆А1В П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.1С1 по второму признаку равенства треугольников (у их равны гипотенуза и два прилежащих к ней угла). Ч.т.д. 3.Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О.На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК = ВМ. Обосновать, что ОК = ОМ. Подтверждение П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.: Соединим точки А, С, В, Е. Получили четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой скрещения напополам. А, означает, этот четырёхугольник – параллелограмм. ЕС и АВ – диагонали параллелограмма АСВЕ. ∠ОАС = ∠ОВЕ (как накрест лежащие при параллельных прямых АС и ВЕ и секущей АВ). Получили, что ∆АОК = ∆ВОМ по первому признаку равенства треугольников (АО = ОВ, АК П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. = МВ, ∠ОАС = ∠ОВЕ). В равных треугольниках оставшиеся стороны равны, т.е. ОК = ОМ.Ч.т.д.
Билет. 14 1.Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. Смотри презентацию, слайд 2. 2. (п.18) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Дано: ∆АВС, АВ = ВС, ВО – биссектриса. Обосновать, что П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. ВО – медиана и высота.
Подтверждение: Разглядим∆ABO и ∆CBO. У их:AB = BC (по условию), BO – общая сторона, ∠AВO = ∠СВО (т.к. BO – биссектриса) . Означает эти треугольники равны по 1 признаку. Как следует, AO = OС, а означает BO – медиана. Дальше, ∠AOC – развернутый угол = 180°. Но т.к. ∆ABO = ∆CBO,то П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. ∠AOB = ∠COB = 180°/2 = 900, означает BO – высота. Ч.т.д.

3.Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и наименьшего из катетов равна 26,4см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение: Пусть в данном треугольнике ∠В = 900, ∠A = 600.

Тогда ∠С = 1800 – 900 – 600 = 300. Наименьший из катетов лежит напротив угла в 300 и, означает, равен половине гипотенузы П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. (по 2 свойству). Обозначим гипотенузу АС = х, тогда катет АВ = ½*х. Составляем уравнение:

(по условию). Отсюда либо х = 17,6.

Ответ:гипотенуза АС = 17,6см.

Билет. 15 1. (п.29) Во всякой аксиоме есть 2 части: условие и заключение. Условие аксиомы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется обосновать. К примеру, разглядим аксиому: Если П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны. В ней условием будет утверждение: 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника (это дано), а заключение: треугольники равны (это требуется обосновать). Аксиомой, оборотной данной, именуется такая аксиома, в какой условие и заключение изменяются местами. К примеру, для данной П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. выше аксиомы оборотной аксиомой будет: Если треугольники равны, то у их все стороны соответственно равны. Либо для аксиомы: Если при скрещении 2-ух прямых секущей соответствующые углы равны, то прямые параллельны. Оборотная аксиома будет звучать так: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующые углы равны. 2. (п.28) Если две прямые П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. параллельны третьей прямой, то они параллельны. Подтверждение: Вправду, пусть а || с и b || с. Докажем, что тогда а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некий точке М. Тогда получим, что через точку М проходят 2 прямые (а и b) параллельные прямой П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. с, а это противоречит теореме параллельных прямых. Потому наше предположение было неправильным, а означает, прямые а и b параллельны. 3.Разность 2-ух однобоких углов при скрещении 2-ух параллельных прямых секущей равна 500. Отыскать эти углы. Решение:
Билет. 16 1.Как выстроить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Смотри презентацию, слайд 9. 2. (п.30) Наружным П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. углом треугольниканазывается угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника. Свойство: Наружный угол треугольника равен сумме 2-ух углов треугольника, не смежных с ним. Дано: ∆АВС, ∠4 – наружный. Обосновать, что ∠4 = ∠1 + ∠3.
Подтверждение: ∠1 + ∠3 + ∠2 = 1800 (по аксиоме о сумме углов ∆). ∠4 + ∠2 = 1800 (смежные) Как следует, ∠4 = ∠1 + ∠3. Ч.т.д.

3.Через середину отрезка проведена ровная. Обосновать, что концы П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. отрезка равноудалены от этой прямой.

Дано: О – середина АВ, l – ровная, проходящая через О.

Обосновать, что АА1 = ВВ1.

Подтверждение: АА1 l и ВВ1 l. Разглядим прямоугольные треугольники АОА1 и ВОВ1. Они равны по гипотенузе и острому углу (АО = ОВ по условию, ∠1 =∠2, как вертикальные).

Как следует, АА1 = ВВ1. Ч.т П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон..д.

Билет. 17 1. (п.24, 37)Две прямые именуются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначение: а ǀǀ b. Два отрезка именуются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Расстоянием от точки до прямой именуется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Расстоянием меж параллельными прямыми именуется П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. расстояние от случайной точки одной из параллельных прямых до другой прямой. 2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Дано: ∆АВС, ∠С > ∠В. Обосновать, что АВ > АС. Подтверждение: Представим, что это не так. Тогда или АВ = АС, или АВ ∠В. Во 2-м случае получаем, что ∠С АС. Ч.т.д. 3.В П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. ∆АВС ∠А = 400, а ∠ВСЕ смежный с ∠АСВ равен 800. Обосновать, что биссектриса ∠ВСЕ параллельна прямой АВ. Дано: ∠А = 400, а ∠ВСЕ = 800, СК – биссектриса ∠ВСЕ. Обосновать, СК ǀǀ АВ. Подтверждение: ∠ВСК = ∠КСЕ = ½ ∠ВСЕ = 800/2 = 400. Получили, что ∠ВАС = ∠КСЕ = 400, а это соответствующые углы при прямых АВ, СК и секущей АС. Раз они равны, то П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. СК ǀǀ АВ. Ч.т.д.
Билет. 18 1. (п.35) Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1) по двум катетам: Если два катета 1-го прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2)по катету и гипотенузе:Если катет и гипотенуза 1-го прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
3)по гипотенузе и острому углу:Если гипотенуза и острый угол 1-го прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
4) по катету и острому углу: Если катет и острый угол 1-го прямоугольного треугольника соответственно равны катету П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. (п. 11) Вертикальные углы – это два угла, у каких стороны 1-го угла являются продолжениями сторон другого.


p-6-normativno-pravovie-i-ekonomicheskie-osobennosti-oformleniya-tyutorskoj-raboti.html
p-86-raschet-chervyachnoj-peredachi-oformlenie-otcheta-58.html
p-a-bornovolokov-o-perspektivah-razvitiya-a38-akademicheskij-vestnik-119-seriya-pravo.html